Definition 5.2.1. Es seien a,b ∈ ℝ reelle Zahlen. Dann nennen wir die Funktion

eine lineare Funktion.

Beispiel 5.2.2. Wir geben die Funktionsvorschrift und die zugehörigen Graphen von drei verschiedenen linearen Funktionen an.

Man sieht, dass alle drei Graphen die Form einer Gerade haben. In der Tat gilt: die Graphen aller linearen Funktionen sind Geraden.

Definition und Bemerkung 5.2.3. Lineare Funktionen der Form

mit b∈ ℝ, nennt man auch konstante Funktionen, da ihr Funktionswert sich nicht in Abhängigkeit von x verändert, also konstant ist.

Lineare Funktionen der Form

mit 0≠a ∈ ℝ, nennt man auch proportionale Funktionen, da der Funktionswert proportional zu x ist, das heißt das Verhältnis zwischen f(x) und x ist konstant. In der Tat gilt für alle x≠0: Also stehen x und f(x) immer im Verhältnis 1 zu a.

Diese beiden Typen von linearen Funktionen haben charakteristische Graphen: die Graphen von konstanten Funktionen sind Parallelen zur x-Achse. Die Graphen von proportionalen Funktionen sind Ursprungsgeraden (das heißt Geraden die durch den Punkt (0,0) verlaufen). Betrachten wir etwa die Graphen zu Beispiel 5.2.2, so sehen wir: die erste Funktion im Beispiel ist eine konstante Funktion, die zweite ist proportional.

Beispiel 5.2.4. Wir betrachten die lineare Gleichung

Diese Lösen wir zunächst nach y auf:

Ersetzen wir nun y durch f(x), so erhalten wir die Abbildungsvorschrift einer linearen Funktion:

Aufgabe 5.2.5.

1.

Welche der folgenden Abbildungen sind lineare Funktionen?

(a)

ℝ → ℝ, x↦

(b)

ℝ → ℝ, x↦7x−2

(c)

ℝ → ℝ, x↦2

(d)

ℝ → ℝ, x↦x² −2x+1

(e)

ℝ → ℝ, x↦⋅x

(f)

ℝ → ℝ, x↦x⋅(x+1)

2.

Welche der folgenden linearen Funktionen sind konstante oder proportionale Funktionen?

(a)

ℝ → ℝ, x↦0

(b)

ℝ → ℝ, x↦3x+5

(c)

ℝ → ℝ, x↦⋅x

(d)

ℝ → ℝ, x↦+1

(e)

ℝ → ℝ, x↦−2x+1

(f)

ℝ → ℝ, x↦x⋅(π −3)+2

3.

Gib zu jeder der folgenden linearen Gleichungen eine lineare Funktion f an, für die jedes Paar (r,f(r)) mit r ∈ ℝ die Gleichung erfüllt.

(a)

2x−y+3 = x+1

(b)

x+y+1 = x−y+3

(c)

6x+ = −2x++4y