Definition 10.1.8. Es seien f : D → ℝ und g : D → ℝ Funktionen und λ ∈ ℝ eine reelle Zahl. Des Weiteren sei D^′ := {x ∈ D∣g(x)≠0} die Menge aller Stellen, an denen g nicht 0 ist. Dann definieren wir folgende Funktionen:

Satz 10.1.9. Es seien f : D → ℝ und g : D → ℝ Funktionen und λ ∈ ℝ eine reelle Zahl. Dann gilt: sind f und g stetig in a ∈ D, so sind auch f +g, f −g, f ⋅g und λ ⋅f stetig in a. Gilt des Weiteren g(a)≠0, so ist auch stetig in a.

Bemerkung 10.1.10. Aus Satz 10.1.9 ergibt sich direkt: sind f : D → ℝ und g : D → ℝ stetige Funktionen und ist λ ∈ ℝ eine reelle Zahl, so sind auch die Funktionen f + g, f −g, f ⋅g, λ ⋅f und auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig. Dem lässt sich folgender Nutzen abgewinnen: hat man eine Funktion f, die aus Funktionen zusammengesetzt ist, deren Stetigkeit man bereits nachgewiesen hat, so erhält man die Stetigkeit von f quasi geschenkt.

Beispiel 10.1.11.

1.

Aus Beispiel 10.1.4 wissen wir bereits, dass Funktionen der Form ℝ → ℝ,x↦ax für a ∈ ℝ stetig sind. Mit dem Satz über die Stetigkeit von Produkten stetiger Funktionen erhalten wir, dass auch ℝ → ℝ,x↦ax² stetig ist. Allgemeiner kann man durch axⁿ = x⋅axⁿ⁻¹ zeigen, dass für alle n ≥ 0 Funktionen der Form ℝ → ℝ,x↦axⁿ stetig sind.

2.

Aus Teilbeispiel 1 und dem Satz über die Stetigkeit über Summen stetiger Funktionen folgt, dass auch Funktionen der Form für beliebige a_i ∈ ℝ stetig sind. Man nennt Funktionen dieser Form auch Polynomfunktionen (siehe Definition 10.1.12). Wir werden uns später noch eingehender mit ihnen beschäftigen.

3.

Es seien nun p und q zwei Polynomfunktionen. Wir definieren D := {x ∈ ℝ∣q(x)≠0}. Dann ist, nach Teilbeispiel 2 und dem Satz über die Stetigkeit von Quotienten stetiger Funktionen, die Funktion stetig auf ganz D. Funktionen dieser Form werden auch als rationale Funktionen bezeichnet (siehe Definition 10.1.15). Auch mit diesem Typ von Funktionen werden wir uns später noch eingehender beschäftigen.

4.

Wir wollen auch ein paar konkrete Beispiele angeben: die drei Funktionen

(a)

ℝ → ℝ,x↦x³ +2x−1

(b)

ℝ → ℝ,x↦−2x⁵ +7x⁴ +8x²

(c)

ℝ → ℝ,x↦π ⋅x¹⁸² +⋅x⁹⁹ −726

sind Polynomfunktionen. Die Funktion

ist eine rationale Funktion.