Kompakte Losungen zu Teil II

Kompakte Lösung 1 (zu Aufgabe 5.1.4). Wir geben jeweils die Lösungsmenge an:

(a): L = {1}
(b): L = ℚ
(c): L = {}
(d): L = {−2}

Kompakte Lösung 2 (zu Aufgabe 5.2.5).

zum Aufgabenteil “Welche der folgenden Abbildungen sind lineare Funktionen?”
(a)
nicht-linear
(b)
linear
(c)
linear; genauer gesagt eine konstante Funktion
(d)
nicht-linear
(e)
linear; genauer gesagt eine proportionale Funktion
(f)
nicht-linear, da x⋅(x+1) = x² +x
zum Aufgabenteil “Welche der folgenden linearen Funktionen sind konstante oder proportionale Funktionen?”
(a)
konstant
(b)
weder konstant noch proportional
(c)
proportional
(d)
konstant
(e)
weder konstant noch proportional
(f)
weder konstant noch proportional
zum letzten Aufgabenteil “Gib zu jeder der folgenden linearen Gleichungen eine lineare Funktion f an, für die jedes Paar (r,f(r)) mit r ∈ ℝ die Gleichung erfüllt.”
(a)
f : ℝ → ℝ, x↦x+2
(b)
f : ℝ → ℝ, x↦1
(c)
f : ℝ → ℝ, x↦2x

Kompakte Lösung 3 (zu Aufgabe 5.3.6).

Die schwarze Gerade hat einen y-Achsenabschnitt von −1 und eine Steigung von 1.
Die grüne Gerade hat einen y-Achsenabschnitt von 4 und eine Steigung von -2.
Die blaue Gerade hat einen y-Achsenabschnitt von 2 und eine Steigung von 0.

Kompakte Lösung 4 (zu Aufgabe 5.3.14).

1.: Der Graph von f₁ : ℝ → ℝ, x↦x+3 hat die Steigung 1 und den y-Achsenabschnitt 3.
2.: Der Graph von f₂ : ℝ → ℝ, x↦−3x+1 hat die Steigung −3 und den y-Achsenabschnitt 1.
3.: Der Graph von f₃ : ℝ → ℝ, x↦x hat die Steigung und den y-Achsenabschnitt 0.
4.: Der Graph von f₄ : ℝ → ℝ, x↦−0,2⋅x−2 hat die Steigung −0,2 und den y-Achsenabschnitt −2.

Kompakte Lösung 5 (zu Aufgabe 5.3.18).

1.: f_schwarz : ℝ → ℝ, x↦x−1
2.: f_grün : ℝ → ℝ, x↦−2x+4
3.: f_blau : ℝ → ℝ, x↦2

Kompakte Lösung 6 (zu Aufgabe 5.5.4). Da es hier die Aufgabe war, verschiedene Lösungswege durchzuspielen, gibt es keine kompakte Lösung. Wir geben jedoch zumindest die Lösung des in der Aufgabe verwendeten Gleichungssystems

5x+ y= − 3 ∧ 5x+ 4y = − 6

an: Das System hat genau eine Lösung, nämlich (−-2 )
5 ,− 1

. Anders ausgedrückt, ist die Lösung gegeben durch x = −-2
5

und y = −1.

Kompakte Lösung 7 (zu Aufgabe 5.5.5). Wir geben die Lösungen in Form von Punkten an:

1.: (0,0)
2.: (1,−1)
3.: (2,1)
4.
5.: (−5,−11)
6.: (1,22)

Kompakte Lösung 8 (zu Aufgabe 5.6.6). In dieser Aufgabe sind dieselben Gleichungssysteme zu lösen wie in Aufgabe 5.5.5. Die kompakte Lösung ist also dieselbe:

1.: (0,0)
2.: (1,−1)
3.: (2,1)
4.
5.: (−5,−11)
6.: (1,22)

Kompakte Lösung 9 (zu Aufgabe 5.6.7). Bei dieser Aufgabe ging es wieder darum verschiedene Lösungswege auszuprobieren. Eine kompakte Lösung ist daher wenig sinnvoll. Hier dennoch die Lösungen (die mit denen von Aufgabe 5.5.5 und 5.6.6 übereinstimmen):

1.: (0,0)
2.: (1,−1)
3.: (2,1)
4.
5.: (−5,−11)
6.: (1,22)

Kompakte Lösung 10 (zu Aufgabe 5.7.4). Wo sinnvoll geben wir die Lösungen in Form von Punkten an:

1.: (0,0)
2.: (1,1)
3.: Die Lösungsgeraden der einzelnen Gleichungen des Systems stimmen überein. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
4.: Die Lösungsgeraden sind parallel zueinander. Das Gleichungssystem hat also keine Lösung.

Kompakte Lösung 11 (zu Aufgabe 6.1.4). Wir benutzen für diese Aufgabe die binomischen Formeln.

1.: 12² = (10+2)² = 10² +2⋅10⋅2+2² = 100+40+4 = 144
2.: 15⋅25 = (20−5)⋅(20+5) = 20² −5² = 400−25 = 375
3.: 11⋅13 = (12−1)⋅(12+1) = 12² −1² = 144−1 = 143
4.: 27² = (30−3)² = 30² −2⋅30⋅3+3² = 900−180+9 = 720+9 = 729
5.: 35² = (30+5)² = 30² +2⋅30⋅5+5² = 900+300+25 = 1225
6.: 48 ⋅ 50 = (49 − 1) ⋅ (49 + 1) = 49² − 1² = (50 − 1)² − 1 = (50² − 2 ⋅ 50 ⋅ 1 + 1²) − 1 = 2500−100+1−1 = 2400

Kompakte Lösung 12 (zu Aufgabe 6.2.4). Wir geben jeweils die Normalform der Gleichung an:

1.: x² +2x−4 = 0
2.: x² −x+ = 0
3.: x² −x+2 = 0
4.: x² +7x−2 = 0

Kompakte Lösung 13 (zu Aufgabe 6.2.7). Wir geben jeweils (falls möglich) die Lösungen an:

1.: x = −1 und x = 1
2.: Die Gleichung hat keine Lösung in den reellen Zahlen.
3.: x = und x = −
4.: x = 0 und x = −1
5.: x = 0 und x = 2
6.: x = 0 und x = 7

Kompakte Lösung 14 (zu Aufgabe 6.2.11). Wir geben (falls möglich) jeweils die Lösung beziehungsweise die Lösungen an:

1.: x = −2
2.: x = 1
3.: x = −1 und x = −3
4.: Die Gleichung hat keine reelle Lösung.
5.: x = und x =
6.: x = − und x = −
7.: x = und x = 1
8.: x = 0,4 und x = −0,6

Kompakte Lösung 15 (zu Aufgabe 6.2.13). Wir geben jeweils die Lösung (beziehungsweise Lösungen) an:

1.: x = −1
2.: x = −1 und x = −2
3.: x = 1 und x = 3
4.: x = 2 und x = −4
5.: x = 2
6.: x = 2 und x = −2
7.: x = −3 und x = −4
8.: x = −2 und x = −5
9.: x = −1 und x = −6
10.: x = 3 und x = 5
11.: x = −3 und x = 5
12.: x = 4 und x = −7
13.: x = −6 und x = 5
14.: x = 3 und x = 7
15.: x = −7 und x = −8

Kompakte Lösung 16 (zu Aufgabe 6.2.17). Wir sollen hier dieselben Gleichungen wie in Aufgabe 6.2.11 lösen. Wir geben die Lösungen hier dennoch nochmals an:

1.: x = −2
2.: x = 1
3.: x = −1 und x = −3
4.: Die Gleichung hat keine reelle Lösung.
5.: x = und x =
6.: x = − und x = −
7.: x = und x = 1
8.: x = 0,4 und x = −0,6

Kompakte Lösung 17 (zu Aufgabe 6.3.3).

1.: Parameter: a = 1, b = 0 und c = 0; Funktion: ℝ → ℝ, x↦1⋅x² +0⋅x+0
2.: Parameter: a = 3, b = 1 und c = −1; Funktion: ℝ → ℝ, x↦3⋅x² +1⋅x−1
3.: Parameter: a = 1, b = 0 und c = −1; Funktion: ℝ → ℝ, x↦1⋅x² +0⋅x+(−1)
4.: Parameter: a = −1, b = 0 und c = ; Funktion: ℝ → ℝ, x↦(−1)⋅x² +0⋅x+
5.: Parameter: a = 5, b = 10 und c = −3; Funktion: ℝ → ℝ, x↦5⋅x² +10⋅x+(−3)

Kompakte Lösung 18 (zu Aufgabe 6.4.6). Wir geben jeweils den Scheitelpunkt an:

1.: (0,0)
2.: (−4,−1)
3.: (0,3)
4.: (2,0)

Kompakte Lösung 19 (zu Aufgabe 6.5.3). Wir benutzen dieselben Farben wie in der Zeichnung in der Aufgabenstellung.

ℝ → ℝ, x↦7,2⋅(x+2)² −1
ℝ → ℝ, x↦ ⋅x² −3
ℝ → ℝ, x↦−2⋅(x−2)² +

Kompakte Lösung 20 (zu Aufgabe 6.5.4). Der Graph von f₁ ist eine Normalparabel. Die Graphen von f₂, f₃ und f₄ sind Normalparabeln mit verschobenem Scheitelpunkt. Wir zeichnen sie in ein gemeinsames Koordinatensystem:

Als Nächstes zeichnen wir die Graphen der restlichen Funktionen f₅, f₆, f₇ und f₈:

Kompakte Lösung 21 (zu Aufgabe 6.6.5). Wir geben jeweils die Scheitelpunktform an:

1.: f₁ : ℝ → ℝ, x↦(x−3)²
2.: f₂ : ℝ → ℝ, x↦2⋅(x+1)² +3
3.: f₃ : ℝ → ℝ, x↦−3⋅(x−5)² +11
4.: f₄ : ℝ → ℝ, x↦ ⋅(x+4)² −1
5.: f₅ : ℝ → ℝ, x↦ ⋅(x−2)² +
6.: f₆ : ℝ → ℝ, x↦0,2⋅(x−1,5)² +0,5

Kompakte Lösung 22 (zu Aufgabe 6.6.6). Wir geben jeweils die Standardform an:

1.: f₁ : ℝ → ℝ, x↦3x² −6x+4
2.: f₂ : ℝ → ℝ, x↦−2x² −16x−33
3.: f₃ : ℝ → ℝ, x↦− ⋅x² − ⋅x−
4.: f₄ : ℝ → ℝ, x↦0,3⋅x² −x+1

Kompakte Lösung 23 (zu Aufgabe 6.6.7). Wir geben jeweils die Scheitelpunktform an:

1.: f₁ : ℝ → ℝ, x↦3⋅² −
2.: f₂ : ℝ → ℝ, x↦(x−2)²

Kompakte Lösung 24 (zu Aufgabe 6.6.11). Die Lösung dieser Aufgabe stimmt mit der von Aufgabe 6.6.5 überein. Lediglich der Berechnungsweg sollte ein anderer sein. Wir geben die Lösung hier nochmal an:

1.: f₁ : ℝ → ℝ, x↦(x−3)²
2.: f₂ : ℝ → ℝ, x↦2⋅(x+1)² +3
3.: f₃ : ℝ → ℝ, x↦−3⋅(x−5)² +11
4.: f₄ : ℝ → ℝ, x↦ ⋅(x+4)² −1
5.: f₅ : ℝ → ℝ, x↦ ⋅(x−2)² +
6.: f₆ : ℝ → ℝ, x↦0,2⋅(x−1,5)² +0,5

Kompakte Lösung 25 (zu Aufgabe 6.6.16). Auch die Lösung dieser Aufgabe stimmt mit der von Aufgabe 6.6.5 überein. Lediglich der Berechnungsweg sollte ein anderer sein. Wir geben die Lösung hier nochmal an:

1.: f₁ : ℝ → ℝ, x↦(x−3)²
2.: f₂ : ℝ → ℝ, x↦2⋅(x+1)² +3
3.: f₃ : ℝ → ℝ, x↦−3⋅(x−5)² +11
4.: f₄ : ℝ → ℝ, x↦ ⋅(x+4)² −1
5.: f₅ : ℝ → ℝ, x↦ ⋅(x−2)² +
6.: f₆ : ℝ → ℝ, x↦0,2⋅(x−1,5)² +0,5

Kompakte Lösung 26 (zu Aufgabe 7.0.5). Wir geben jeweils den Schnittpunkt (beziehungsweise die Schnittpunkte) an:

1.
2.: (−1,1)
3.: (,) und (1,2)
4.: (1,−6) und (3,10)
5.: (1,1)

Kompakte Lösung 27 (zu Aufgabe 7.0.8). Wir geben jeweils alle Nullstellen an (falls welche existieren):

1.: x = 0
2.: x = −
3.: f₃ hat keine Nullstellen.
4.: x = −1 und x = 1
5.: x = 3 und x = 1
6.: x = 4 und x = 0
7.: f₇ hat keine Nullstellen.
8.: x = −3,5

Kompakte Lösung 28 (zu Aufgabe 7.0.10). Nach Bemerkung und Definition 7.0.9 ist der y-Achsenabschnitt einer Funktion nichts weiter als der Wert der Funktion an der Stelle 0.

1.: f₁(0) = 0
2.: f₂(0) = 2⋅0+3 = 0+3 = 3
3.: f₃(0) = −3
4.: f₄(0) = 0² −1 = 0−1 = −1
5.: f₅(0) = −3⋅(0−2)² +3 = −3⋅4+3 = −12+3 = −9
6.: f₆(0) = ⋅(0−2)² −6 = ⋅4−6 = 6−6 = 0
7.: f₇(0) = (0+1)² +2 = 1+2 = 3
8.: f₈(0) = 0,5⋅0² +1,75⋅0 = 0+0 = 0

Kompakte Lösung 29 (zu Aufgabe 8.1.4). Wir geben jeweils die gesuchte Funktion an:

1.: ℝ → ℝ, x↦4⋅x²
2.: ℝ → ℝ, x↦4⋅x² +1
3.: ℝ → ℝ, x↦4⋅(x−1)²
4.: ℝ → ℝ, x↦−4⋅x²
5.: ℝ → ℝ, x↦ ⋅(x+2)² +3
6.: ℝ → ℝ, x↦− ⋅(x−2)² −1
7.: ℝ → ℝ, x↦−8⋅(x−3)² +2
8.: ℝ → ℝ, x↦−² −

Kompakte Lösung 30 (zu Aufgabe 8.1.8). Wir geben jeweils die gesuchte Funktion an:

1.: ℝ → ℝ, x↦x² −4x+5
2.: ℝ → ℝ, x↦2x² −8x+11
3.: ℝ → ℝ, x↦−x² −x−
4.: ℝ → ℝ, x↦4x²
5.: ℝ → ℝ, x↦−x² +2x−3
6.: ℝ → ℝ, x↦−2x² +x−

12.5 Kompakte Lösungen zu Teil II